я после возмущения. Отклонения измеряемых концентраций от равновесных значений определим следующим образом:

Ae=-^- = lfe+1es—IM, (4-377)

или

d(Xeqd7M kq-Д*) (Seq-^)-^ (*eq-А*). (4.378)

В равновесии

^+i^eqSeq = ^-l^eq. (4.379)

Кинетика действия ферментов

285.

так что

dA* "dT

=k+l (eeqAs + seqAe—AeAs)—k^Ax.

(4.380>

Если член AeAs настолько мал, что им можно пренебречь, и если, кроме того, заменить Ае и As на —Ах (поскольку Ае = =As=—Ах), то мы получим

Сравнение этого уравнения с (4.369) показывает, что оба они имеют одинаковую форму и после их интегрирования получается выражение вида (4 371), но в данном случае

Следовательно, для данной системы время релаксации можно определить таким же путем, как и для рассмотренной выше системы; в обоих случаях, если известна константа равновесия Ks реакции, то, зная т, можно определить константы скорости. Кроме того, для систем, подчиняющихся уравнению (4.382), обе константы скорости можно определить непосредственно по графику зависимости 1/т от (eeq-\-seq): наклон прямой равен k+\, а длина отсекаемого отрезка составляет k-\.

Выражения для времен релаксации ряда процессов были суммированы Хофсти [1847]; они приведены в табл. 4.13.

Релаксационные методы могут быть использованы для определения времен релаксации не только одностадийных реакций, но и более сложных систем. В этих случаях анализ экспериментальных данных может оказаться весьма сложным, так как процесс релаксации системы, включающей ряд стадий, не всегда представляет собой простую совокупность независимых процессов релаксации, каждый из которых соответствует опре-

dA* it

= —k+i (eeq + seq) Ax—k.iAx.

(4.381)

— =^.1 + ^+1(eeq + seq).

(4.382>

Таблица 4 !3

Реакция

Величина, обратная времени релаксации

k+i(aeq + beq) + k-i

k + i(aeq + beq) + ft_i(Ceq + rfeq)

& + l(aeq&eq; + OeqCeq + &eqCeq;)+&-l

A+C=p*B + C 2A=f*A2

A+B^C

A+B=f±C+D A+B + C^D Глава 4

деленной стадии, поскольку изменения, происшедшие на одной из стадий, могут сказываться на концентрации компонентов, участвующих в других стадиях.

Анализ систем, включающих более одной стадии, можно проиллюстрировать на примере простой двухстадийной реакции

*+1 *+2

E + S ES =р=* ES'. (4.383)

Такие системы анализируются в ряде работ; приведенное ниже рассмотрение основано главным образом на работе Хаммеса и Шиммеля [1755] и Халфорда [1751].

Уравнения скорости для этой системы можно записать в виде

de

-^-=k_ix—k+ies, (4.384) -§~=k+zx-k_zy, (4.385)

где х и у — концентрации комплексов ES и ES' соответственно. Запишем также два уравнения материального баланса для -изменений, которые происходят после возмущения:

Ае-\-Ах+Ау=0, (4.386)

Ae—As. (4.387)

Подстановка их в (4 384) и (4 385) дает

-1JT =[*+i &q-Rq;) + А(?- (4.388)

= *+aAe+(*La+*+8) Ay. (4.389)

Правые части обоих уравнений представляют собой линейные комбинации двух (концентрационных) переменных, т. е.

•l?-=alU? + aiAy, (4.390) -^.=а3Ае + аЛАу, (4.391)

где а\—«4 — константы (при данных условиях), определяемые уравнениями (4.388) и (4 389). Общие решения этих двух линейных дифференциальных уравнений имеют вид

A*=A1e-tf4 + Aaer'Ai, (4.392) At/=B1e-'/ti-f В2е-'/*2. (4.393)

Кинетика действия ферментов Эти уравнения являются более сложной формой простого уравнения (4 374), где Аь А2, Bi и В2 — постоянные Получить решение уравнений (4 390) и (4 391) в виде (4 392) и (4 393) можно с помощью теории матриц, найдя такие х\ и т2, которые удовлетворяют условию

а. — 1 /т а,

= 0, (4.394)

а,— 1/т

или

[-vj—(ai + ai) -т + а&—где ti отвечает положительный, а т2 — отрицательный знак перед квадратными скобками Полное решение можно получить, подставив выражения для а,\—а4 из уравнений (4.390) и (4 391). Часто оказывается более удобным использовать выражения для суммы и произведения величин, обратных временам релаксации; эти выражения менее сложны, чем для значений времен релаксации как таковых

4- + = fe-i + fe+ifeq+seq)+fe+2+fe-2, (4-397)

ll ь2

7- 7- = 1*-*+k+i + &ч + seq)- (4.398)

'l l2

Из этих соотношений видно, что все четыре константы скорости для рассматриваемой системы можно определить из графиков зависимости суммы и произведения величин, обратных временам релаксации, от (eeq-f-seq)

Если два рассматриваемых времени релаксации значительно различаются (на порядок или больше), то систему называют несопряженной, в таком случае можно отнести время релаксации к определенной стадии Например, если Ti-288

Глава 4

Таким образом, при низкой концентрации реагента, когда (^eq+Seqj^/Cs, 1/тЪ = &-2, а при высокой концентрации, когда (ещ-\-5щ)^>К.5, l/t2 = fe-2+fe+2- Следовательно, 1/тг увеличивается при увеличении концентрации реагента, достигая предела при 1/т2 = &-2+&+2, в то время как 1 /п увеличивается с увеличением концентрации реагента линейно.

Аналогичным образом можно вывести уравнения для времен релаксации реакций с большим числом стадий, хотя необходимый для этого математический аппарат может быть весьма сложным. Уравнения для ряда систем, которые могут встретиться при исследовании ферментов, суммированы Япелем и Ламри [5225], а также другими авторами; некоторые из этих уравнений приведены в табл. 4.14.

Следует подчеркнуть, что каждой стадии реакции соответствует одно время релаксации. Это правило часто формулируют следующим образом: если в системе имеется п интермедиатов, то она характеризуется /г-f-l временами релаксации.

Анализ результатов при определении времен релаксации обычно проводят, используя стандартные полулогарифмические графики первого порядка. Очевидно, что для системы с несколькими временами релаксации (значительно различающимися по величине) индивидуальные значения этих величин могут быть определены путем проведения серии определений при разных временных масштабах. Если система является сопряженной, то полулогарифмические графики не будут прямолинейными. При относительно очень большой продолжительности опыта кривая будет переходить в прямую, соответствующую наибольшему времени релаксации, с наклоном 1/тп (для п-го времени релаксации). Если эту прямолинейную часть экстраполировать «обратно» к началу координат и «вычесть» из исходной кривой, то получим кривую, характеризующую остальные п—1 времен релаксации. Повторение этой процедуры позволяет определить все времена релаксации. Этот метод детально обсуждается Френчем и Хаммесом [1411], которые отмечают, что значения последовательных времен релаксации должны отличаться по крайней мере в два раза, чтобы можно было получить достаточно точные результаты. Другие методы анализа таких кривых, в том числе метод моделирования с помощью ЭВМ, обсуждаются в работе [1212]. Если система является очень сильно сопряженной, т. е. времена релаксации очень близки, то последние трудно разграничить. В таких случаях весьма полезным оказывается метод моделирования с помощью ЭВМ; метод получения двух «средних» времен релаксации рассматривается Шварцем [4160].

После определения индивидуальных времен релаксации нужно установить, к каким стадиям исследуемой реакции они относятся. Как отмечалось выше, определенную информацию о

Таблица 4.14

Сводка уравнений для времен релаксации (двухстадийные и многостадийные системы)

*+2

(1) E"f-S 4==fc ES 4=fc Е + Р

1 1

r~ + -^Г = k+i (eeq + Seq) + k-2 (eeq + Peq) 4- A-i + A+2 ь1 b2

~^ X ^7 = eeq [&+ife-2 («eq + Seq + Peq) + A+1A+2 +" A-1A-2] .

Если 1/Tj > 1/T2, TO — ж A+1 (ещ 4- Seq) + A-2 (eeq + Peq) + А-j + A-2

1 _ geq [A+1A-2 (eeq + Seq 4-peg) + ?-lA-2] T2 ~ ^+1 (^eq + Seq) + A-2 (eeq + Peq) + + k+2

*+l fe+2 fe+3

(2) E+S ES 4=fc ЕР ч=>Е + Р

-1 -2 -3

Быстро Медленно Быстро

"7" + T~ = + Й"з) беЧ + ^+lseq + ^-sPeq + A-t + Ka =

= (k+1 + k.s) eeq + ^A+1 + A_3 seq + A_! + A_,

T;X^-== A+1fe_3 (eeq)2 + A+iA-8 + eeqseq + (k+1k+s + A^A.,) e/eq +

+ (k+ik+s + A-jA-з -^3. j %q + A-jA+з 1 A+» , A_o

"г" 1С ё +a--й—

n—l ceq "'-й ceq

где

p _ k+llk-l + eeq + Seq + PeqA+1A-2/fe-l6+2 * A+1/A_! + eeq + Peq + Seq

A+2/A-2 4- eeq + Pel + Seqk-ik+2/k+1k-2 A+2/A-2 + eeq + Peq + seq

„ *+* *+2 к+з fe+4

(3) E + S ч—>" Xj X2 ч—>¦ X3

*-2 *-3 *-4

Быстро Медленно Очень Быстро медленно

— ж А+1 (eeq + Seq) 4- k-i Глава 4

Прод