ие системы дифференциальных уравнений (11.32) может быть дано только в том случае,

если полностью пренебречь членами. 2 4>и%1, т. е.

1Ф i

потоком информации в мутантные копии и из них {Qi:= 1). В этом случае система уравнений упрощается:

x^kol^-Ejxi (11.48)

и имеет следующее решение [х\ — х{ (t = 0)]:

х\п exp (kcW\t\

где любое W\ можно также заменить на Ек.

Это решение можно получить, исходя из неявной формы, которая получается при интегрировании (11.48):

exp(kQWty

(11.50)

ехр

k0 J Ё (т) dx ?

о

Интегральный член исчезает для любого отношения (хъ/Xi), которое можно ввести в выражение для Е, если записать его следующим образом:

Тогда кинетическое уравнение (11.48)

xt = Jfeo^i - h — г x\ (II. 52)

представляет собой специальную форму дифференциального уравнения Бернулли

x + g(t)x + [(t)x2=0 (11.53)

с хорошо известным решением [54]

T(i)=e{t) llWdt; * О = exp [J (11.54)

Подстановка

g (t) = const = — Ш\ (11.55)

JV

дает решение (11.49).

Это решение описывает в явном виде процедуру отбора. При t = 0 каждое Х\ равно своему начальному значению х°г При /—>оо сумма экспонент может быть

представлена ее наибольшим членом, который принадлежит виду с наибольшей «селективной ценностью»: WQm. Этот вид отбирается. Его концентрация стремится к стационарному значению

W0

хт = ^-п, (11.57)

которое равно п, если Qm = 1 (т. е. W%, — Em), Все другие виды должны в конце концов исчезнуть в соответствии с уравнением

Xl (,) = я_?_ехр [(^° _ Ml (П. 58)

Прежде чем xm достигнет своего «доминантного» уровня,, некоторые Xi(t) могут сначала увеличиться в числе и пройти через максимум и лишь после этого исчезнуть. На рис. 5 приведен пример с четырьмя конкурирующими видами. .

Этот подход все еще может дать полезное решение для главной копии, если Qm не точно равно, но близко к единице. Когда отобранная главная копия достигнет доминирующего уровня, она будет конкурировать преимущественно с мутантами, возникающими вследствие неточного воспроизведения. Изложенный подход не описывает поведения этих мутантов, для которых в соответствии с равенством (II. 13) необходимо учитывать дополнительные члены (особенно ц>гтХт) в кинетических уравнениях. Их концентрации, следовательно, не упадут до нуля. Для отобранной главной копии выражения (11.49) и (11.57) дают хорошее приближение,

пока Ёъфт < Я^т. Здесь мы не уточняем вида ошибочных копий, а просто имеем в виду, что какое-то число

1.00-п

Рис. 5. Отбор в системе четырех конкурирующих видов по уравнению (II. 49).

1^2=4; ^з=9; wJ—lO.

ошибок существует. (Если W°m = Ет) т. е. Qm = I, система не может развиваться дальше.) Прежде чем рассматривать более подробно взаимодействие между главной копией и мутантами, мы можем заняться специальным случаем, когда можно дать простое решение для Qi^\ 1.

б) Постоянная общая, организация или постоянные потоки

Екфт ИЛИ Ркфт ПОСТОЯННЫ.

Этот случай описывает либо конкуренцию между двумя видами т> и k, либо конкуренцию с целым вырожденным классом видов к т} в котором Ek**m или

РьФт постоянны. Мы видим также, что этот случай представляет собой хорошее приближение для отбора в системе видов, которые не вырождены по ЕцФт или РкФт, но дают довольно_постоянное распределение вокруг средних значений ЕъФт и Pk=m, ? в то время как отобранный вид имеет другую скорость воспроизведения С W°m > Ётфк ИЛИ WFm > Ряфщ.

В случае постоянной общей организации решение для отобранного вида следующее:

х т

где

?

*т = П гп кФт ^ сравенСТВ0М (П.43)] Ет Ek Ф т

— «равновесное» значение хт (в соответствии с определением § II. 4), которое достигается при t—*oo. Опять

все «независимые» виды с У?\фт < W°m в конце концов вымирают, тогда как сумма по всем мутантам (вырожденным в соответствии с допущением ЕкФт — const доходит до стационарного уровня [ср. с равенством (11.44)}.

Существует еще одно ограничение по отношению к Qm\ оно не должно быть слишком мало, чтобы можно было пренебречь повторным появлением вида im из мутантов (в результате исправления ошибок при последующих воспроизведениях). Допустимый диапазон значений Qm зависит здесь от количества информации, т. е. от числа единиц v в цепи. Это же ограничение имеет место также для «равновесного» значения, согласно уравнению (11.43). В других случаях уравнение (11.43) служит хорошим приближением для конечной фазы отбора в пределах одной популяции, где имеет место практически только конкуренция между мутантами (и

главной копией). Здесь среднее значение ЕкФт действительно может быть аппроксимировано константой, так что это решение воспроизводит правильное «равновесное» значение хт (и сохраняет силу также в окрестности селекционного «равновесия»). С другой стороны, решение (11.49) (первый случай) не приводит к правильному равновесному значению, за исключением

ситуации, когда Екфт *С W^; но это хорошее приближение для начальной фазы отбора, когда число мутантов мало по сравнению с числом неродственных копий. Решения, подобные (11.59), но с Q = I, неоднократно обсуждались в литературе по генетике популяций [55]. Известный случай — уравнение Росса для распространения малярии [56]. А. Лотка дал также общие математические критерии устойчивости решений таких уравнений [57].

• Явное решение задачи о конкуренции между «двумя видами» можно получить также в случае ограничения постоянных потоков, предположив, по крайней мере, одну и ту же стехиометрию f(m\ ... Ш\) для всех видов (такое же допущение мы делали раньше в связи с выражениями (11.36) и (11.46). В кинетическом уравнении (11.37) члены Рифт, WFm и nsi = ng)z=zM являются константами (в предположении, что образование и распад подчиняются кинетике первого порядка), в то время как члены пА' и, следовательно, (1 -f-P)==

ss j^'/^ являются линейными функциями хт. Индивидуальные кинетические уравнения, имеющие вид

где

В—- Ш"т (Рт — Pk*m), D— — B/ko@m,

можно проинтегрировать и получить следующие альтернативные решения:

а„ г л ,а„

т

exp{k0Ј>m[\-am]t}

ИЛИ

Um it)]*"

[xmTmexp{kQ®m[\-am]t}

(11.61)

или (1 — am) =

(11.62)

Это решение ведет себя очень сходно с решением (11.59). При t—*0 численность «отобранного» вида растет по закону

(приближение для xm(t)<^xm), тогда как при /-*оо #т(0 стремится к «равновесному значению»

т k фт т Ркфт

[ср. с (II. 46)].

в) Постоянная общая организация

Ёкфт переменно; приблизительный учет продукции ошибок: # <С 1 (но не «С 1).

По мере роста численности отобранного вида воспроизводимо возникающие мутанты главной копии 1тдают все больший вклад в общую продукцию. Эти мутанты можно разделить на классы согласно" числу дефектных положений (по сравнению с главной копией), т. е.

2 Чь 2 hk и т. д. Для последовательностей длиной v

к к

единиц число копий в каждом классе дается биномиальными коэффициентами, причем для X типов единиц каждый дефект в данном положении (X—1)-кратно

копий iik убывает с увеличением /: например, в рамках простейшей модели, предполагающей равные д-факторы для узнавания отдельных единиц (ср. с табл. 8), эта частота пропорциональна

Соответственно каждый класс дефектов будет давать вклад в восстановление главной копии, причем этот вклад убывает с увеличением числа дефектов.

Для того чтобы получить некоторое количественное представление о влиянии мутантов на отбор, рассмотрим упрощенный случай — влияние единичных дефектов. Это приближение пригодно лишь до тех пор,, пока математическое ожидание ошибки у(\—д) остается значительно меньше единицы, т. е. 0 <С <С 1.

Тогда мы должны различать три класса кинетических уравнений (W = W0 всегда относится к постоянной организации).

а) Для одной главной копии im

xm=k0(Wm-E)xm + ko 2 Elk$ikWlk x{k. (II. 64a)

б) Для v(X—1) мутантов in, имеющих один однобуквенный дефект,

хи = k0 (Wlt - Щ хн + kQ Em$Jm хт. (II. 64b) в) Для — хт — 2 xikj независимых конкурентов ijt

хц = к0(№н-Е)хи. (II. 64с)

Третью категорию независимых конкурентов можно считать также- мутантами главной копии, имеющими / ^ 2 дефектов. Для достаточно длинных последовательностей это число возможных конкурентов так велико, что вероятность случайно найти любую данную копию практически равна нулю. Предполагается, что их возникновением в результате мутаций главной копии можно пренебречь. Это относится и к тем мутантам главной копии, которые имеют дефекты только в двух положениях. Далее, приближение требует (до тех пор, пока независимые конкуренты дают существенный вклад в решение), чтобы

2*2Й < 2 2*;fe. (11.65)

k I > 2 k

Факторы p в уравнениях (II. 64а) и (П.64Ь) в общем случае связывают продукцию данного мутанта с общей продукцией дефектов, которая равна

В случае одинаковых значений q с C?io = qv и равных скоростей продукции ошибок fimt, например, сводится к

(3^=^-1), (11.66)

так как доля l/{v(X—1)} всех ошибок, возникших при воспроизведении главной копии, будет соответствовать продукции любой однодефектной копии.

Для того чтобы получить самосогласованное приближение, мы должны пренебречь всеми мутациями, кроме возникновения единичных дефектов в главной копии и восстановления главной копии из однодефект-ных копий. Это заставляет допустить, что ж Ejit (Exh-~Wlh)^= si\h{\ — q) и ^ift=l. Последнее предположение, т. е. замена Q на q для всех однодефект-ных копий, кажется на первый взгляд несколько нереалистичным, так как оно допускает только один сорт ошибки, а именно тот, который ведет к восстановлению главной копии. Однако пренебрежение другими ошибками при воспроизведении однодефектных копий (которые могли бы дать копии с двумя дефектами) согласуется с этим приближением и влияет только на малые поправочные члены. Для любой из отдельных копий fa различие между Eih и Wih пренебрежимо мало; однако в этом приближении надо учитывать сумму всех этих членов в уравнении (П. 64а),

Для главной копии мы получим следующую - зависимость концентрации от времени (л^ = %т (t = 0));

fl mm

X° m

life

+ ^ В* exp {Ao (Г,* - ГУ 0 +

+ 2c/Jkexp{/so(r/Jk.-r