том случае, когда снижение концентрации субстрата пренебрежимо мало, поскольку относительный вклад отрицательного члена в числителе существенно возрастает по мере приближения к равновесию, а также из-за роста третьего члена в знаменателе. Независимо от типа изучаемой реакции отрицательный член в числителе дает заметный вклад только в том случае, если реакция В значительной мере обратима. В то же время для многих практически необратимых реакций, например для классического случая гидролиза сахарозы, катализируемого инвертазой, ингибирование продуктом имеет существенное значение. Этот результат согласуется с простейшим механизмом (2.16) только в том случае, если необратимой является первая, но не вторая стадия. Подобная ситуация является маловероятной; во всяком случае, ее нельзя рассматривать как общее явление. В то же время для механизма, допускающего образование Двух промежуточных соединений [схема-(2.19)], ингибирование продуктом в случае необратимой реакции может иметь место лишь при условии, что необратимой является именно вторая стадия. Тогда накопление продукта приводит к «перекачиванию» фермента из свободной формы в форму ЕР. Для необратимой реакции уравнение (2.18) принимает следующий вид:

У, а/К* У/а 1+^Г + ^ K*(i+P/K?)+a •

Когда реакция является необратимой, величину /?м можно с полным основанием записать как Kf, поскольку, если константа к_2 стремится к нулю, она неизбежно станет много меньше, чем (/c_i + А+2) [см. уравнение (2.21)].

Очевидно, что добавляемый в систему продукт должен оказывать то же действие, что и продукт, накапливающийся в ходе реак-

54

Глава 2

ции, и, следовательно, можно было бы измерять начальные скорости в присутствии различных количеств добавленного продукта. Для каждой концентрации продукта зависимость начальной скорости от концентрации субстрата должна подчиняться уравнению Михаэлиса —Ментен со следующими значениями параметров: V — Vf и Км = Км (1 + pIKs). Таким образом, V не зависит от р, а Км увеличивается с р линейно. Действительно, в некоторых случаях процесс ингибирования продуктом подчиняется этим закономерностям (как это имеет место, например, для ингибирования инвертазы фруктозой). Однако известны случаи, когда подобные закономерности не выполняются (например, при ингибирова-нии инвертазы другим продуктом, глюкозой [114]). Кроме того, ингибировать ферменты могут-не только продукты реакции, но и другие соединения. Ясно, чтодля объяснения этих фактов необходима более полная теория; она излагается в последующих главах.

Приложение.

Гиперболический характер уравнения Михаэлиса — Ментен

Зависимость v от s, описываемая уравнением Михаэлиса—Ментен, часто изображают графически как равнобочную гиперболу. Однако подобный вид графического представления этой зависимости иногда вызывает недоумение, поскольку те гиперболы, с которыми оперирует математика, всегда имеют две ветви, в то время как график зависимости v от s имеет, очевидно, только одну ветвь. Кроме того, уравнение Михаэлиса—Ментен v = Vs/(Km + s) имеет на первый взгляд мало общего с обычным выражением для равнобочной гиперболы, асимптотами которой являются оси а: и у,

ху = а, (2.23)

и уж совсем, казалось бы, не похоже на другое выражение для равнобочной гиперболы, у которой асимптоты повернуты на 45° по отношению к осям х ъ у,

Однако подстановки в уравнение (2.23) х = s + Км, т. е. х = = s — (—Км), у = (v — V) и а = —VKm дают выражение

(» + Kn)Q>-v) = -VKK,

которое представляет собой то же уравнение Михаэлиса—Ментен, но в преобразованном виде. Подобно тому как для гиперболы ху = = а асимптотами являются оси х = 0 и у = О, график зависимости v от s имеет асимптоты s = —Км и v = V (в этом случае роль оси х выполняет ось s, а оси у — ось v). Так как вертикаль-

Введение в ферментативную кинетику

55

ная асимптота лежит в области отрицательных значений s, становится ясным, почему кривая имеет только одну ветвь: вся отрицательная ветвь и часть положительной расположены в области значений у и я, не имеющих физического смысла, и поэтому соответствующие точки не могут быть измерены. Все эти соображения иллюстрируют рис. 2.8, на котором кривая представлена в более

Рис. 2.8. График зависимости v от s, удовлетворяющей уравнению Михаэлиса — Ментен.

Участок кривой, соответствующий значениям s от 0 до 5*См> тот же, что и на рис. 2.1. Однако для того, чтобы показать положение асимптот (s = — Kfg. и ч = V) относительно кривой, на рис. 2.8 приведен более широкий интервал значений s, включая [значения, не имеющие физического смысла.

полном виде (включая и те области, которые не измеряются экспериментально), и их следует иметь в виду на практике, поскольку обычно значения параметров Км и V, определяющих форму целой гиперболы, находят из измерений v при значениях я, лежащих в сравнительно небольшом интервале.

Рис. 2.8 демонстрирует также свойство кривой, отмеченное де Мигуэлом Мерино [42]: любая прямая, проведенная через точку пересечения асимптот, отсекает на осях координат отрезки, длины которых соответствуют координатам точки, лежащей на кривой. Это свойство гиперболы лежит в основе прямого линейного графика, который является, однако, зеркальным отображением рис. 2.8 (относительно вертикальной оси), поскольку он строится как график зависимости V от Км,& не v от s.

Глава 3

Как выводить уравнения стационарной скорости

3.1. Введение

В принципе уравнение стационарной скорости для любого механизма ферментативной реакции можно вывести так же, как и для простого механизма Михазлиса — Ментен. Для этого нужно записать выражения для скоростей изменения концентраций всех промежуточных соединений, принять их равными нулю и решить систему полученных уравнений. Однако на практике этот метод оказывается чрезвычайно трудоемким и, за исключением самых простых механизмов, может привести к ошибочным результатам. К. счастью, существует другой метод, предложенный Кингом и Альтманом [89], который основан на использовании схем и пригоден для любого механизма, представленного рядом реакций между различными формами одного и того же фермента. Этот метод неприменим к неферментативным реакциям,..к реакциям, катализируемым смесью ферментов или включающим неферментативные стадии. Тем не менее он пригоден для большинства случаев, встречающихся в ферментативном катализе, и имеет большое практическое значение. Этому методу и посвящена настоящая глава.

Для того чтобы пользоваться методом Кинга — Альтмана, не обязательно понимать его теоретические основы, которые значительно сложнее практической стороны. Некоторые из читателей могут поэтому сразу перейти к изложению метода в разд. 3.3. Однако в любом случае лучше все-таки понимать сущность используемого метода, чтобы четко представлять себе границы его применимости. В этой связи в следующем разделе изложена теория метода Кинга — Альтмана.

3.2. Принцип метода Кинга — Альтмана

Рассмотрим механизм, предполагающий наличие п различных форм фермента (Е4, Е2, Еп)1. Допустим, что для каждой пары форм переход Е t ^ Е j из одной формы в другую является обратимым и следует кинетике первого порядка. Обозначим константу скорости для перехода Е t -»-Е 7- через к1}, а константу скорости для перехода Е7- Ег — через к j t и т(. д. В таком случае скорость образования данной формы Е t будет равна fc4 jet +

1 Речь идет о свободном ферменте и ферментсодержащвх комплексах.— Прим. ред.

Как выводить уравнения стационарной скорости

57

4- к21е2 + •¦• 4- kn ien, причем в эту сумму входят концентрации всех форм, за исключением концентрации самой формы Е {. Скорость исчезновения формы Е4 равна (ktl + к1й 4- • •• 4- ktn)ei; это выражение мы будем записывать как Скорость изме-

нения et равна

= *h*i + *ii*2 -i----+knien -\----— = °"

Это выражение равно нулю, поскольку мы считаем, что выполняется условие стационарности. Число выражений подобного типа равно, очевидно, и (по одному для каждой из п форм), однако независимыми являются только (и — 1) из них. Действительно, одно из уравнений равно сумме остальных (и — 1) уравнений. Чтобы решить систему уравнений относительно п неизвестных, необходимо иметь еще одно уравнение; его можно получить исходя из условия, что сумма концентраций всех форм должна быть равна е0, общей концентрации фермента:

et+e2-j----4- еп = е0. (3.2)

Какое именно из п исходных уравнений заменяется уравнением (3.1), неважно, однако при разрешении системы относительно ет удобно заменять тп-е уравнение. В таком случае мы получаем следующую систему уравнений:

— + Ке2-\-----\-kmiem-\-----h knlen = 0,

^12*1 — Hk2je2+ ¦¦¦ +kmiem-\-----h kn2en =0,

e± + Ч Л----4- «¦,+ ••¦.+ en = «o»

*in 4 4- hn 4 -i-----h kmn em 4-----S Kj en = 0.

Эту систему уравнений можно решить, используя правило Крамера,

кы ... о ' ••• Ki

kiz ... о Kt

1 i ¦ • • • e0 • • • 1

kin kin • • • 0 • • • ~ЪК,

Ki • • • fcmi • ' • Ki

^12 ¦ • • K2 ¦•• Кг

i 1 ... 1 ... 1

kin ^2n ••• Kn ••¦ -ЪК1

(3 2)

58

Глава 3

[Предполагается, что читатель знаком с определителями и методом решения системы уравнений с помощью определителей (правило Крамера). Эти вопросы выходят за рамки настоящей книги; их изложение читатель может найти в любом учебнике алгебры.] В числителе выражения (3.2) тге-й столбец состоит целиком из нулей, за исключением элемента тге-й строки, равного е0. Элемент е0 можно переместить в первую строку первого столбца путем тге-крат-ной перестановки строк и тге-кратной перестановки столбцов без изменения остальных элементов определителя. 2т — это всегда четное число, независимо от того, четным или нечетным является т, и поэтому знак определителя в результате проведенных операций остается неизменным. Поскольку первый столбец, за исключением элемента е0 в первой строке, состоит теперь из нулей, е0 можно вынести как множитель перед определителем. В результате мы получим определитель (и — 1)-го порядка и числитель выражения (3.2) запишется следующим образом:

2 кИ