ыявляются при помощи статистических/ тестов (разд. 10.8) и исключаются при использовании правильного уравнения. /

Более серьезными являются систематические отклонения второго типа, потому что они присутствуют во всех экспериментах и обнаружить их довольно трудно. Любые ошибки, касающиеся эксперимента в целом, такие, как неверная оценка концентраций фермента или субстрата в исходных растворах, приводят к погрешностям в константах уравнения, описывающего экспериментальные данные, но не вызывают увеличения определяемой статистической ошибки, так как не влияют на форму соответствующего уравнения. Единственный способ обнаружения систематических ошибок подобного типа состоит в повторении всего эксперимента от начала до конца, включая все предварительные приготовления. О статистических ошибках обсуждаемого типа можно говорить в том случае, когда отклонения в значениях констант, получаемых день ото дня, существенно больше статистической ошибки, определяемой из отклонений в единичном эксперименте.

Из факта существования систематических ошибок можно сделать важный в практическом отношении вывод: к значениям кинетических констант следует относиться с осторожностью. Это не означает, конечно, что статистические расчеты бесполезны: сопоставления величин, получаемых из одной серии экспериментов, могут, быть проведены на вполне законных основаниях. Допустим, например, что вещество, предположительно обладающее ингиби-рующим действием, повышает определяемое значение .йГм.каж на величину, которая меньше отклонений, наблюдаемых день ото дня, но заметно выше отклонения в одной серии экспериментов, рассчитанного статистическим методом. Если этот результат воспроизводим и если скорости ферментативной реакции в отсутствие и в присутствии ингибитора измеряются в одной серии экспериментов с использованием одних и тех же исходных растворов, то можно сделать вывод о наличии заметного ингибирующего эффекта.

10.2. Дисперсия

В статистике следует всегда различать истинное значение величины, которое представляет собой неизвестную постоянную и обычно обозначается греческой буквой (например, В), и оценку (estimate) этой величины, которая является переменной (поскольку мы можем приписать ей любое значение, какое захотим) и обычно обозначается соответствующей буквой латинского алфавита (например, Ъ). Можно также ввести наилучшую для выбранного критерия оценку величины, обозначаемую через Ь; Ь вновь

Расчет констант скорости

235

являетсяЧ постоянной, поскольку, как правило, используемому

критериюудовлетворяет только одно значение Ь. (Эта неопределенность, связанная с применением того или иного критерия, не случайна; было бы ошибочным полагать, что существует уникальный критерий, позволяющий оценить, насколько хорошо предложенное у равнение описывает экспериментальные данные, й применимый строго к данным всех экспериментов.) Для обозначения Ъ и В необходимо использовать разные символы, так как вопреки нашему желанию эти величины никогда не бывают равны друг другу. При проведении статистической обработки данных очень важно четко представлять себе, какие величины являются переменными, а какие — постоянными; следует отметить, что в общем случае постоянство или непостоянство величины не согласуется с тем, чего можно было бы ожидать. Так, если мы хотим оценить неизвестные константы а и В в уравнении у = а + Вж, их необходимо считать переменными (а и Ъ); величины же х и которые являются переменными для экспериментатора, представляют собой константы для статистика, потому что они не могут изменяться при проведении статистического анализа.

Поскольку оценка величины (Ъ) отличается от истинного значения (В), целесообразно ввести оценку величины ошибки (Ь—В). Анализируя различия значений Ъ между собой, можно получить информацию о характере отклонений значений Ъ от В. Если, определяя значение bt много раз (п), мы получаем, что среднее значение bt при п-*~ оо приближается к В, то b по определению

представляет собой несмещенную состоятельную оценку (estimator)1 величины В. Далее мы считаем, что все оценки, с которыми мы имеем дело, — это несмещенные состоятельные оценки, хотя в физических экспериментах они никогда таковыми не бывают, поскольку учесть все источники систематических ошибок невозможно. Следовательно, средняя

ошибка для несмещенной состоятельной оценки, т. е. —2(Ь=—В)

при п-*-оо стремится к нулю, и использовать ее в качестве характеристики изменчивости Ъ бесполезно. Однако среднее квадратов

ошибок (bt—В)2 уже не стремится к нулю при п—>-со, потому

что каждый член этой суммы является положительной величиной.

С ростом п величина —2(bt—В)2 стремится к определенному пре-

1Такое различие между оценкой, представляющей собой частную величину, используемую в особой ситуации, и состоятельной оценкой, определяющей общий класс оценок, проводят не все авторитетные специалисты в области статистических методов, однако иногда это разграничение полезно для уточнения картины, и поэтому оно используется в настоящей книге.

236 Глава 10

делу, называемому дисперсией (variance) bt [или erWs)]; эта величина может служить мерой изменчивости Ъ t. / Дисперсия Ъ i определяется следующим выражением:

о2 (bt) = lim J--V (b. _ р)«. / (ЮЛ)

Измерить ее нельзя, так как величина В неизвестна, а провести бесконечно большое число измерений невозможно. Однако ст2(Ьг)

можно определить из выборочной дисперсии sz(b t) = ~2(6г—Ь)2,

где п — конечная величина и Б — наилучшая оценка В для определенного критерия. В качестве простого критерия для определе-

ния Ь можно воспользоваться критерием минимальности s2(fcj). В таком случае имеем

(bf_S) = o,

т. е. 26 = Поскольку Ь одинакова для всех г, 2Ь равна про-сто и?>. Поэтому Ь =—2Ь;, т. е. Ь равна среднему всех значений

В общем случае выборочная дисперсия s2(b4) дает заниженное значение истинной дисперсии ст2(Ьг), потому что среди всех воз-

можных способов определения Ь, как правило, выбирают такой, при котором s2(bt) минимальна. Следовательно, s2(bt) представляет смещенную состоятельную оценку a2(bt). Ясно, что на это смещение необходимо ввести поправку, но оценить величину этой поправки не просто. Обсуждение данного вопроса выходит за рамки настоящей книги, поэтому мы утверждаем (без доказательства), что смещение можно учесть умножением выборочной дисперсии на п/(п—1). В более общем случае, когда из п наблюдений можно определить р параметров, поправочный множитель равен пЦп—р), т. е.

Когда данные представляют в виде таблиц, дисперсию оценки обычно заменяют корнем квадратным из дисперсии; эту величину называют стандартной ошибкой. Целесообразность этой операции состоит в том, что стандартная ошибка любой величины имеет ту же размерность, что и сама величина. Например, мы можем записать Ъ = 3,21 +0,12, где первое число представляет собой оценку В, а второе — стандартную ошибку этой оценки. Тем не менее

Расчет констант скорости 237 -^-----•--

дисперсия более удобна при проведении алгебраических расчетов, так как проще иметь дело с квадратами, чем с квадратными корнями, и поэтому при обсуждении теоретических вопросов предпочтение отдается дисперсии.

На практике больший интерес представляет дисперсия наилучшей оценки Ь, а не дисперсия индивидуальных значений bt. Для того чтобы рассчитать дисперсию Ь, мы должны прежде всего определить дисперсию суммы. Рассмотрим поэтому сумму двух чисел х и у, дисперсии которых определяются следующими выражениями:

о3 (х) = lim —? (xt - ц*)2,

о2 (у) = lim — V (Vi — ц у,

где рх и \>.у — («истинные») средние значения для популяций xt л Ух соответственно. Считается, что каждое значение хг или yi выбрано из бесконечно большой совокупности возможных значений. В таком случае логично определить дисперсию (х + у) как

о* (х + у) = lim — У (xt + у, — рх — |х )\ Каждый член суммы можно представить следующим образом;

ixi +У| — Рх — РуУ = (xi — РхУ + 2(xt— рх) {yt — |ху) + (yt — |ху)2.

Поэтому

ог(г+^) = о2(ж) + 2соу^, у) + о*(у). (10.3)

В этом выражении cov(a;, у) — новая величина, называемая ко-¦еариацией хну. Она определяется как

cov (х, у) = lim V (х{ - pg (у t — ji ) (10.4)

и.характеризует синхронность изменения х жу: если существует какой-либо систематический источник ошибок, приводящих к изменениям как х, так и у, то ковариация будет велика. Если х и у изменяются в одном направлении, ковариация положительна, •а если в противоположных — отрицательна. В отсутствие систематической ошибки ковариация равна нулю и уравнение (10.3) «водится к

о*(х + у) = о*(х) + о*(у). (10.5) Используя это соотношение, из равенства Ь = — 2Ь t получаем

238 Глава 10

ъ{ъ) = 4-о2(2^) = -i-o* (*ч + Ъ, + ... + Ъп) =

= -V [°S ^ + ст2 (Ь2) + ... + о2 (Ьп)]. Если все Ь; имеют одну и ту же дисперсию, то

о2 ( Ь ) = -jr па2 (6.) = -i- о2 (bi) • (Ю.6)

Рассмотрим теперь случай, когда требуется определить дисперсию произведения. Если индивидуальные дисперсии малы, то рассчитать дисперсию произведения ху довольно просто. Представимх как (и-ж 4- вх), ay — как (р.^ + еу). В таком случае

*У = (Рх + ех) (Ру + еу) = V-x Ру + Ру е* + Рх еу + е*еу ¦

Если Езс'С^эе и < (Xj,, то произведение e^Cj,, а также его дисперсия являются пренебрежимо малыми величинами. Далее, поскольку |аж и o-j, постоянны, дисперсия PxV-y равна нулю. Поэтому в выражении для дисперсии ху мы должны рассмотреть только два средних члена и, применяя уравнение (10.3), получаем

°Ч*У) = V? а2 (х) + 2?х (ху cov {х, у) + ? о2 (у). (10.7)

Поскольку р.,. и jij, обычно неизвестны, на практике они заменяются на оценки, х и у.

Дисперсия отношения может быть получена аналогичным образом:

с* {х/у) = *W _ fr, сот («.у) + t^fr) 8)

v-l \4

Как и предыдущие выражения, уравнение (10.8) является только приближением; оно верно для малых ошибок. Неизвестные ^х и

p-j, на практике опять-таки заменяются на оценки, хну.

Наконец, определим дисперсию обратной величины. Это особенно полезно знать при обработке данных по ферментативной кинетике, поскольку позволяет понять отрицательные стороны график