е, если они параллельны той или иной оси.

Модель, основанная на аппроксимации данных прямой у = =а-\-$х 4- е, представляет собой простейший случай общего класса моделей, известных как линейные. Термин «линейный» употребляется не для того, чтобы лишний раз подчеркнуть, что прямая есть прямая; он означает, что эта модель описывается математически выражением типа

Vi = % + PiXu + %X2i + ...-Иг,

где у i — единственная переменная, измеряемая с ошибкой, В0, Blf В2, ... — параметры модели и xlt, x2i, ... — переменные,

244

Глава 10

которые известны точно. Иными словами, линейная модель описывается линейной функцией параметров. Она может быть также линейной относительно измерений, однако это не имеет значения. Следовательно, уравнение у = а 4- Ва; 4- ух2 4- е соответствует линейной модели, хотя и описывает кривую, а не прямую. В то же • время уравнение х/а 4- у/В = 1 + е не относится к линейной модели, хотя это есть уравнение прямой. Условие линейности важно потому, что оно существенно упрощает анализ: линейным моделям соответствуют уравнения, сходные с уравнениями (10.12), которые можно точно решить в один прием. К сожалению, многие модели, встречающиеся в ферментативной кинетике (и во многих физических науках), нелинейны, и поэтому для их анализа требуются особые приемы. Зачастую модели могут быть представлены таким образом, что для их анализа становятся пригодными методы линейной регрессии, в чем состоит большая ценность этих методов.

10.4. Описание данных при помощи уравнения Михаэлиса — Ментен

Подобно тому как в идеализированное уравнение прямой у = а 4- В# должна быть включена ошибка измерения {у = = а 4- Ва; + е), чтобы оно соответствовало реальному эксперименту, в уравнение Михаэлиса—Ментен v=TsH$Cm + s) также необходимо ввести соответствующий член, иначе оно будет неполным:

' (1а23>

(Из-за отсутствия подходящих букв греческого алфавита для обозначения истинных значений V и Км использованы символы Т и оТм- Кроме того, вместо е, е и w применены символы б, d и и, а исходные символы сохранены для использования их в разд. 10.3.) Это простое изменение тотчас выявляет отрицательные стороны графика двойных обратных координат и других линейных анаморфоз уравнения Михаэлиса—Ментен, рассмотренных в разд. 2.5: сначала исследователь с удивдением обнаруживает, что совершенно правильные алгебраические преобразования приводят к неверным результатам, и только потом осознает, что неверными являются не алгебраические преобразования, а исходная точка зрения.

Для того чтобы описать экспериментальные данные при помощи уравнения (10.23), мы должны минимизировать сумму взвешенных квадратов SS = Hud2, где d — приближенное значение 8, полученное заменой Т и &См на оценки V и Л^м соответственно. Следовательно, в принципе нам нужно решить такую же

Расчет констант скорости

245

задачу, как и в предыдущем разделе, однако здесь ситуация несколько сложнее, поскольку уравнение (10.23) нелинейно и минимизировать SS прямым образом не удается. Тем не менее существует ряд способов нахождения минимума SS, из которых мы рассмотрим один, а именно тот, который основан главным образом на работах Иохансена и Ламри [86] и Уилкинсона [149].

Если член, соответствующий ошибке, введен в уравнение Михаэлиса—Ментен после преобразования его в линейную форму, а Не до, как следовало бы сделать, т. е.

s g2Tm , 1 ,

ар i ар

то полученное выражение не является истинной анаморфозой уравнения (10.23) и величина е не равна б (вот почему потребовалось другое обозначение). Действительно, простыми алгебраическими преобразованиями мы можем показать, что

¦ (Ю.24)

Поскольку 5^,'оТм, б и е неизвестны, мы должны заменить их оценками V, Км, о" и е соответственно. Уравнение (10.24) принимает тогда следующий вид:

d=~^7. (Ю.25)

Для V « Т, Км » &См и v ж TsS(&Cm; + s), т. е. при значениях параметров, близких к оптимальным, V/(Km + *) » vis. Таким образом,.

, d ta . (10.26)

s

Если нам удастся определить веса и, то полученные выражения позволят очень" просто найти минимум SS. Согласно предыдущему разделу, веса должны точно отражать изменение дисперсии v с изменением v. На самом деле характер изменения дисперсии v при варьировании v неизвестен, однако истина лежит между двумя крайними случаями: а) ошибки измерения v являются простыми^ т. е. каждая скорость характеризуется одной и той же стандартной ошибкой, и поэтому для каждого измерения и — 1; б) ошибки измерения v являются относительными, т. е. каждая скорость характеризуется стандартной ошибкой, пропорциональной истинной величине TTsK&Cm; + s), и поэтому для каждого измерения и =(ЗГМ +я)«/У"*м >.

1 Речь идет о постоянстве абсолютных ошибок (случай а) или постоянстве относительных ошибок (случай б). — Прим. перев.

246

Глава 10

В первом случае минимизация SS сводится просто к отысканию минимума суммы

^-1'"1тат-^. (,0.27)

Ценность приближенной формы этого выражения состоит в том, что она не содержит неизвестных величин; следовательно, первым шагом минимизации SS является отыскание минимума суммы 2 y4e2/s2 при помощи формул линейной регрессии, приведенных в предыдущем разделе. После подстановки в уравнения (10.13) и (10.14) а = Km/V, b = l/V, х =s,y =s/v та iv - vVs* и проведения соответствующих преобразований получаем

2>/у*2>-(?и/я)2 2 y*/s2 2v* — 2 2 "3/s

(10.28)

у v* у vs Is — У v*/s У i;3

^ ^ -* *- . (10.29)

2y4/s22t,3~2l,4/s2i;3/s

При решении-многих задач достаточно остановиться на этом этапе. Могут, конечно, сказать, что любая попытка улучшить эти значения V и Км излишня, поскольку, как правило, мы никогда не располагаем надежным способом определения веса. Однако для полноты картины покажем, как можно строго минимизировать SS. После того как найдены приближенные значения V и Км, можно заменить значения весов, полученные в первом приближении, на более точные веса V0v2/(K0 + s)2, где V0 и К0 — приближенные значения V и Ам, найденные при помощи уравнений (10.28) и (10.29). Уточненные значения V и Ам равны

У< v2 г1 8V /у sv2 \2

у _ jj (К0 + s)2 Ь (К, + «)» ~ jjj {Кр + «)« j ^ (Ю.30)

v2 yi A yi sv2 yr> sv *

^ (*o + *)2 ^ {K~o + *)2 ~~ ^ (#o + s)z ^ («o + *)2

sz i;2 V"i Y~l sir V"i

AMда (*° + s>2 <*» + g>2 + s>2 + s>2 . (Ю.31)

^ (tf0 + s)* ^ (K0 + s)2 ^ (Ко + s)2 ^ (K0 + s)2 Этот процесс можно повторить, заменяя К0 на новое значение Км

и далее до тех пор, пока Ам не перестанет заметно меняться от одного приближения к другому. Как правило, это бывает примерно на четвертом этапе. Заметим, что величина V0 на самом деле в уравнения (10.30) и (10.31) не входит, так как ее можно сокра-

Расчет констант скорости

247

тить. Следовательно, оценивать V до проведения последнего этапа приближения нет необходимости.

Перейдем теперь к обсуждению второго подхода к определению весов, основанного на допущении, что каждая скорость характеризуется стандартной ошибкой, пропорциональной истинному значению скорости. Здесь мы с удивлением обнаруживаем, что решение задачи становится намного более простым. В этом случае соответствующие веса и задаются выражением и = ={Кы + *)2/ V2s2, где неизвестные е/Гми Т заменены на наилучшие оценки Км и V. Следовательно, сумма квадратов равна

. 55=5>2 = ? (*м + ')'™- . (Ю.32)

По определению в точке минимума Км ~ Км и V = V, поэтому

SS = JJv2e2/s2. (10.33)

Строго это уравнение выполняется только в точке минимума, но именно эта точка нас и интересует. Уравнение (10.33) не содержит неизвестных величин, поэтому минимизировать SS можно в один прием: подставляя а = KulV, Ъ = 1/V, х =s, у = =s/v и w= y2/s2 в уравнения (10.13) и (10.14) и проводя соответствующие преобразования, получаем точные решения для V и Км:

(10.34)

Пользоваться этими уравнениями, впервые полученными Ио-хансеном и Ламри [86], намного проще, чем уравнениями (10.30) и (10.31), и остается только удивляться, почему они так редко применяются. На это можно было бы ответить, что выбор определяется (или должен определяться) не удобствами расчетов, а природой экспериментальных ошибок. Однако такой ответ звучит не очень убедительно, поскольку предполагается, что нам известна природа экспериментальной ошибки, а этого почти никогда не бывает. Честнее будет сказать, что просто линейная регрессия намного более удобна при работе с простыми ошибками, а исследователь невольно подходит к решению задачи, принимая желаемое эа действительное, и считает ошибки простыми. В ферментативной кинетике на самом деле гораздо удобнее принять аль-

248

Глава 10

тернативную гипотезу (случай относительных ошибок), хотя и с меньшим на то основанием. На практике правильность схемы для определения весов можно оценить с помощью графиков зависимости d от v и d/v от v, используя для построения расчетных кривых те веса, которые желают проверить: если ошибки действительно являются простыми (или, выражаясь более строгим

v v

Рис. 10.1. Графики разброса экспериментальных точек, используемые для оценки правильности способа определения весов.

Верхняя пара рисунков (А и Б) показывает ожидаемый характер зависимости d (отклонения от расчетной кривой) от скорости v и зависимости d/v от и соответственно для случая, когда все скорости имеют одно и то же стандартное отклонение (случай «простых ошибок»). Нижняя пара рисунков (В и Г) показывает ожидаемый характер соответствующих зависимостей для случая, когда стандартное отклонение каждой скорости пропорционально еег истинному значению (случай «относительных ошибок»). На каждом рисунке обозначены границы, соответствующие удвоенному значению стандартного отклонения.

статистическим языком, если значения d являются гомоскедастпич-ными), то на графике зависимости d от v точки должны быть разбросаны в полосе, параллельной оси v, а на графике зависимости ¦d/v от у — в сужающейся при больших v полосе, как это показано в верхней части рис. 10.1. Если же ошибки являются строго относительными, так что гомоскедастичный характер носят значения d/v, а не d, то на графике зависи