а—Ментен, с тремя и большим числом параметров, мы должны прежде всего рассмотреть обобщенную лрямую (общую линейную модель), задаваемую уравнением

Уi = Pi zu + р2 x2i + ... + рр xpi + et. (10.42)

Здесь при каждом х стоит два индекса, из которых первый определяет природу х, а второй — номер наблюдения. Так, хи может представлять собой ?-ю концентрацию субстрата, x2i — i-ю концентрацию ингибитора и т. д. Хотя это уравнение не содержит постоянного члена в явном виде, его наличие не исключается, потому что для всех i можно принять хи равным единице и в этом случае Вх будет константой, соответствующей константе а в разд.

254

Глава 10

10.3. (В некоторых руководствах константа обозначается через В0, однако это ведет к недоразумению, так как число параметров в этом случае становится равным не р, а р 4- 1.)

Для любых оценок параметров (Ьг, Ъ2 ...,Ьр) уравнение (10.42) может быть записано следующим "образом:

У г = h хи 4- Ь2 x2i 4- ... 4- Ьр xpi 4- et , (10.43)

и тогда сумма квадратов с учетом весов определяется как

SS = ^iwie\ = Ъ™ЛУ1—Ь1Хи — Кх21—_... — ЪрХр1)г.

Дифференцируя поочередно по каждому параметру, получаем

dSS 2

= — 2%wtxltyt + 2bi^wixl. + 2b2'^iwix2ixii 4- ... 4-

+ 2bp^iwixptxu,

dSS

= — 2^wix2iyi + 2bi*2iwixilx2i 4- 2b2^wix2l + ... 4-

дЬя

и т. д. Чтобы найти оценки Ьи Ь2, Ьр, при которых SS минимальна, мы должны приравнять все р выражений к нулю, заме-

нить каждую величину bj на Ь ] и провести соответствуюшде преобразования:

b^WiXu 4- b2^wix2ixll 4- ... + b^iOiXptXii =

= 2>i*ii0i. (10 44)

?, 2 wt xit x2i + b2 2 wt xti 4-... 4- bp J wt xpi xn =

= liWtX^yt

и т. д Вместо системы, состоящей из двух уравнений [системы (10.12) в случае прямой], мы теперь имеем систему р уравнений. Ее решение найти не так просто, как может показаться, из-за возникающих при этом серьезных арифметических трудностей, что характерно для всех систем с большим числом уравнений (подробнее об этом сказано в разд. 10.8). Мы можем формализовать задачу путем введения такого набора коэффициентов с7-А, что

&i; =сн5>« хиУг+ c2i2>« x2tyt + ... + cpl'2iwixpiyi,

h = c^WiX^yi + c22'%wtx2iyi 4-... + Cp2'%WtXpiyi и т, д. Говорят, что исходная система уравнений инвертирована

Расчет констант скорости

255

в том смысле, что неизвестные blt b2, bp выражены теперь в явном виде, в то время как члены, стоящие в правой части уравнений (10.44), 2«7,а;1гу {, Zu7,-:r2,yзаписаны теперь так, как если бы они были неизвестными. Таким образом, матрица из коэффициентов Cfk должна быть обратной исходной матрице из коэффициентов llwiXjlxki. Поскольку программы для нахождения обратных матриц имеются во всех библиотеках программ к современным ЭВМ, останавливаться здесь на технике расчета коэффициентов с jk нет необходимости. Отметим только, что подобный подход не

только позволяет рассчитать все значения Ь, но и дает простой способ определения всех дисперсий и ковариаций. Для любого параметра

2

I °эксп»

а для любой пары параметров

cov(by, bh)= cJka

ЭКСП )

где о2эксп рассчитывается из суммы квадратов обычным путем: °2эксп = SSI(n—р). Справедливость этого соотношения совсем не очевидна, и ее трудно доказать, не углубляясь в матричную алгебру. Для более детального ознакомления с этими вопросами читатель должен обратиться к учебникам по регрессионному анализу (например, 146]).

Для нахождения параметров уравнений, обычно встречающихся в стационарной кинетике, может быть использована общая линейная модель. Рассмотрим, например, уравнение для начальной скорости необратимой реакции при наличии ингибирования продуктом [уравнение (2.22)]

*м(* + PilKs)+4

Допустим, что мы хотим найти минимум суммы квадратов SS = =S И| d2 с учетом веса. Уравнение (10.45) можно записать следующим образом:

¦Н--~Pt + — at+eit (10.46)

»i У/ VfK? V,

Величина е t не равна d t, однако связана с ней следующим приближенным соотношением: е% =-— dtailVi2 [см. уравнение (10.26)]. Уравнение (10.46) аналогично уравнению (10.43), если принять У1 =*«,/»,, Ъг = Км/Vf, Ь2 = KK/VtKf, Ь3 •= 1/Vf, xlt = 1 (для всех i), x2i = р i и х31 = о t. Соответствующие веса w t впер-

256

Глава 10

вом приближении можно считать равными и tv г4/а t2 или w t =

=u {v^v^la^, где уг—скорость, рассчитанная с наилучшими оценками параметров. При определении весов ut используются те же соображения, что и для более простого уравнения Михаэлиса— Ментен (разд. 10.4): если мы считаем, что ошибки определения скоростей простые, то Uj =1 для каждого i; если же ошибки

относительные, то и; = 1/у2- В последнем случае vt2 исчезает из выражения для ivit и поэтому равенство wt = = v t2la t2b 2 является строгим и не требует уточнения (опять как и в более простой ситуации).

Большая часть уравнений стационарной скорости имеет по существу такой же вид, что и уравнение (10.45), т. е. правая часть их является дробью, в которой числитель представлен одним членом, а знаменатель — линейным выражением. Все эти уравнения исследуются точно так же, как и уравнение (10.45). Уравнения, содержащие более одного члена в числителе, например уравнение (4.7), относящееся к случаю гиперболического ингибирования или активации, гораздо труднее использовать для описания экспериментальных данных; для их анализа требуются более сложные методы нелинейной регрессии. Большое число подобных методов обсудил Сванн [138], а в работах Вартона и др. [148] можно найти пример из области ферментативной кинетики.

10.8. Некоторые трудности, возникающие при описании экспериментальных данных расчетными кривыми

Для обсуждения практических трудностей, возникающих при использовании методов, описанных в этой главе, потребовалось бы написать отдельную книгу. Однако некоторые проблемы встречаются так часто, что о них стоит упомянуть.

Большие трудности бывают обусловлены причинами, совершенно неожиданными для неопытного исследователя. Речь идет об ошибке, связанной с округлением величин. Для большинства нестатистических задач, проводя расчеты, можно брать величины, содержащие на одну или две значащие цифры больше, чем мы хотим получить в окончательном ответе. Однако в статистических расчетах этого, как правило, бывает недостаточно, потому что на том "или ином их этапе непременно приходится определять разность двух близких величин, что всегда ведет к потере нескольких значащих цифр. Рассмотрим, например, разность 1,38204—1,38195 = 0,00009. Каждое из исходных чисел содержит шесть значащих цифр, а в разности мы имеем только одну. Полезно проделать расчет Км при помощи уравнения (10.29) для серии данных, приведенных в табл. 10.1. Так как численные значе-

Расчет констант скорости

257

Таблица 10.1

ПОСЛЕДСТВИЯ, К КОТОРЫМ ПРИВОДИТ ОКРУГЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН Для серии, состоящей из пяти наблюдений (выраженных в произвольных единицах), рассчитана ори помощи уравнения (10.28) величина Км . Для данных, представленных

в левой части таблицы, яа каждом этапе расчетов использовались три знака после запятой, а в правой части—четыре.

S V о» ,| v3/s v' u3/s D«/s»

1 0,22 0,011 0,002 0,011 0,002 0,002 0,0106 0,0023 0,0106 0,0023 0,0023

2 0,31 0,030 0,009 0,015 0,005 0,002 0,0298 0,0092 0,0149 0,0046 0,0023

3 0,41 0,069 0,028 0,023 0,009 0,003 0,0689 0,0283 0,0230 0,0094 0,0031

4 0,46 0,097 0,045 0,024 0,011 0,003 0,0973 0,0448 0,0243 0,0112 0,0028

5 0,48 0,111 0,053 0,022 0,011 0,002 0,1106 0,0531 0,0221 0,0106 0,0021

Суммы: 0,318 0,137 0,095 0,038 0,012 0,3172 0,1377 0,0949 0,0381 0,0126

0,1377X 0,0949 — M 0,0126x0,3172 —

— 0,0381x0.3172

— 0,0381x0,0949 = _ 0,0131 — 0,0121 _

0,0040 — 0,0036

0,0004 z,ou

ния скоростей содержат только две значащие цифры после запятой и формула (10.29) дает величину Кк лишь в первом приближении, можно было бы просто предположить, что на каждом этапе расчета достаточно сохранять только три цифры после запятой. Однако, как видно из таблицы, это дает конечный ответ Кж = = 0,001/0,000 = оо. Взяв четыре значащие цифры после запятой, получаем Кк = 0,0010/0,0004 = 2,5, что уже гораздо лучше, но все же отклонение от точного ответа (2,359) составляет 6%.

Если для описания экспериментальных данных используются уравнения, содержащие несколько неизвестных, то трудности, к которым приводят ошибки, связанные с округлением величин, становятся еще более серьезными. На большинстве современных ЭВМ вычисления проводятся с двенадцатью или большим числом значащих цифр. Однако даже в этих случаях могут возникнуть затруднения при решении системы уравнений, если используется не очень хорошо отработанная программа. Эти трудности можно частично преодолеть, представляя все данные таким образом, чтобы их численные значения были как можно ближе к еди-

0,137x0,095 — М= 0,012X0,318—v —0,038X0,318 —0,038x0,095 -0,013 — 0,012 ~~ 0,004 — 0,004 " 0,001

258

Глава 10

нице, желательно в интервале между 0,1 и 10. Гораздо проще, произведя все вычисления, вернуться затем к исходным размерностям, чем отыскивать в программе место, где неожиданно появился нуль.

Аналогичная проблема возникает и в случае, когда система уравнений составлена из сингулярных или плохо обусловленных уравнений. Говорят, что уравнения сингулярны, если они содержат на вид больше информации, чем это есть на самом деле. Например, следующие два уравнения

{ х + у =2, \2х + 2у = Ь

являются сингулярными, так как второе из них содержит в точности ту же информацию, что и первое; система сингулярных уравнений никогда не может быть решена. Подобные уравнения появляются при решении задач регрессионного анализа, когда пытаются описать экспериментальные данные при помощи уравнений, содержащих большее число параметров, чем число наблюдений. Например, было бы бессмысленным пытаться применить уравнение (10.45), располагая только двумя наблюдениями. Все эти трудности легко устранить, руководствуясь просто здравым смыслом, однако гораздо чаще приходится иметь дело с си