стемами плохо обусловленных уравнений, где это сделать гораздо труднее. Когда говорят о системе плохо обусловленных уравнений, то подразумевают, что, хотя уравнения и не строго сингулярны, они очень близки к таковым и для решения системы требуется проведение очень точных расчетов. Рассмотрим, например, следующую систему двух уравнений:

\ х + 1,00001у = 2,00001.

Она имеет единственное решение: х =1, у =1. Однако увеличение правой части второго уравнения всего на 0,00001 приводит к изменению решения (х = 0, у = 2).

Плохо обусловленные уравнения появляются при решении задач регрессионного анализа в тех случаях, когда данные содержат мало информации о некоторых из параметров или не содержат ее совсем. Например, конкурентные ингибиторы окат зывают наибольшее влияние при низких концентрациях субстрата, и серия наблюдений, проведенных исключительно при высоких концентрациях субстрата, часто не позволяет оценить константу ингибирования, сколь бы велико ни было число измерений. При решении более сложных задач указанием на наличие плохо

Расчет констант скорости

259

обусловленных уравнений может служить тот факт, что один и.з параметров имеет гораздо большую стандартную ошибку, чем все остальные. Если, например, при анализе смешанного ингибирования стандартные ошибки V, Км и К t' оказываются равными приблизительно 5% величин измеряемых параметров, в то время как стандартная ошибка параметра Kt составляет приблизительно 50%, то это должно означать, что с точки зрения определения К i эксперимент задуман плохо и необходимо провести большее число измерений при низких концентрациях субстрата. Рассмотренная ситуация представляет «обой один из случаев, когда стандартные ошибки могут принести реальную пользу: численные значения стандартных ошибок сами по себе не представляют особой ценности, однако их сопоставление может оказаться очень полезным.

Следует отметить, что не всегда можно быть уверенным в том, что для описания экспериментальных данных используется корректное уравнение. В сложных случаях (как, например, при анализе многих моделей, рассмотренных в гл. 7) задача выбора корректного уравнения при современном уровне техники эксперимента часто оказывается неразрешимой, поскольку ожидаемые различия между моделями подчас меньше ошибки измерений. В подобной ситуации следует смириться с невозможностью дифференциации "моделей, так как никакой' статистический анализ не позволит извлечь из экспериментальных данных информацию, которая в них не содержится. Однако существуют приемы, позволяющие в отдельных случаях установить некорректность использования данного уравнения, т. е. его непригодность для описания экспериментальных данных. Самый простой и быстрый среди них состоит в определении знака разностей между экспериментальными точками и расчетной кривой. В том случае, когда уравнение выбрано верно, знак разностей меняется произвольным образом. Однако, если, например, первые из двадцати разностей имеют отрицательный знак, а остальные десять — положительный, это означает, что экспериментальные данные скорее всего описаны неудачно, поскольку при использовании корректного уравнения наличие подобных систематических расхождений между экспериментальными данными и расчетной кривой— событие a priori маловероятное. Подобную картину получают, например, в том случае, когда пытаются уравнением Михаэлиса —Ментен . описать экспериментальные точки, лежащие на сигмоидной кривой.

Если некоторые измерения проведены дважды, возможен более строгий тест на корректность использования данного уравнения. Подобные наблюдения позволяют независимым способом оценить экспериментальную ошибку, которую далее можно сопоставить с ошибкой, получаемой из суммы квадратов отклонений, т. е. о2эксп. Если число повторных измерений достаточно

260

Глава 10

велико (например, 10 из 30)1, то значения ошибок, рассчитанные из суммы квадратов отклонений, с одной стороны, и из двойных измерений — с другой, должны быть величинами одного порядка. Если это не выполняется и ошибки в первом случае существенно меньше, чем во втором, то скорее всего экспериментальные данные описаны неудовлетворительно- Сопоставление ошибок может быть проведено количественно, и результаты проанализированы при помощи статистических таблиц (см. [46], стр. 26—32)', однако почти так же верно и значительно быстрее можно ответить на поставленный вопрос, руководствуясь просто здравым смыслом.. Тем, кто недостаточно хорошо знаком с теоретическими: основами статистических тестов, лучше всего их не использовать, потому что, слепо применяя подходы, описанные в учебнике, можно прийти к явно ошибочным заключениям и попасть, таким образом, в глупое положение.

Когда установлено, что экспериментальные данные описаны неверно, перед исследователем возникает задача найти более под^ ходящее уравнение. При этом недостаточно, чтобы новое уравнен ние давало меньшую сумму квадратов отклонений, так как введение в уравнение большего числа параметров всегда снижает величину SS. Нужно стремиться по крайней мере к тому, чтобы снизить величину экспериментальной дисперсии <т2эксп = = SSI(n—р) и добиться отсутствия систематических расхожде^ ний между экспериментальными данными и расчетной кривой. Как и ранее, можно использовать для этой цели статистические тесты, но лучше руководствоваться здравым смыслом.

10.9. Статистические аспекты использования прямого линейного графика

Метод наименьших квадратов в приложении к решению задач регрессионного анализа представлен в настоящей главе как ca-i мый удобный общий метод, а не как наилучший. Дело здесь в следующем: чтобы показать, что решение задачи, получаемое методом наименьших квадратов, является «оптимальным», мы дол-, жны допустить, что а) распределение случайных ошибок измерений является нормальным, б) экспериментальная ошибка определяется ошибкой только одной переменной, в) соответствующие веса измерений известны и г) возможными систематическими ошибками можно пренебречь. К сожалению, о том, в какой мере каждое из этих допущений выполняется на практике, известно очень мало. Большинство исследователей стремятся к тому, чтобы сделанные ими заключения зависели от как можно меньшего

1 Проводить дважды все измерения нет необходимости, и, конечно, следует отказаться от подобной постановки эксперимента, если при этом заметно уменьшается широта охвата данных.

Расчет констант скорости

261

числа необоснованных допущений, и на протяжении последних пятидесяти лет сформировалась отдельная область статистики, известная как непараметрическая статистика (или статистика, не использующая представлений о типе распределения генеральной совокупности), которая основывается на минимальном числе допущений. Из перечисленных выше допущений первые три отбрасываются. Если говорить о последнем допущении, то трудно представить себе такие систематические ошибки, которые невозможно было бы обнаружить, и его обычно выражают в более простой форме: если соответствующая информация отсутствует, то принимают, что ошибка любого измерения с равной вероятностью может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

Простейшим примером непараметрической статистики может служить использование медианы в качестве «середины» выборки вместо среднего значения. Для того чтобы найти медиану ряда чисел, мы должны прежде всего расположить их в порядке возрастания, а затем выбрать число, занимающее среднее положение. Если число значений является четным, то выбирается среднее значение двух величин, занимающих среднее положение. Большая практическая польза от использования медианы состоит в том, что она почти не зависит от присутствия небольшого числа неверно измеренных величин (выбросов), в то время как среднее значение очень чувствительно к выбросам. Отрицательной стороной исцользования медианы является то обстоятельство, что если данные распределены нормально, медиана представляет собой менее «удачный» параметр, чем среднее значение, так как стандартное отклонение для медианы выборки приблизительно на 25% (в самых неблагоприятных случаях) больше соответст-ствующей величины для среднего значения. Для небольшого числа измерений зто различие будет меньше. Однако этот недостаток окупается тем, что, если распределение не является нормальным'и содержит небольшую долю выбросов (например, 10% значений имеют в три раза большее стандартное отклонение, чем остальные 90%), медиана становится более удачным параметром, чем среднее значение. Еще одно важное преимущество использования медианы состоит в том, что при ее расчете не требуется учитывать веса, чтобы получить хорошую оценку, потому что лучшие значения в совокупности измерений имеют тенденцию располагаться в центре интервала, а худшие — на его краях. Таким образом, хотя в принципе и можно учитывать веса при расчете медианы, особой целесообразности в этом нет. Напротив, если хотят получить хорошую оценку среднего значения, то вводить поправку на вес измерения необходимо.

Прямой линейный график, предложенный Эйзенталем и Кор-ниш-Боуденом [50] (см. разд. 2.5), представляет собой попытку

262

Глава 10

использовать идеи непараметрической статистики для оценки кинетических параметров ферментативной реакции и одновременно существенно упростить метод расчета и лежащие в его основе идеи. Для любой пары измерений v, проведенных при различных значениях концентрации субстрата, {st; vt) и («,; v}), существует единственная пара значений параметров уравнения Михаэлиса —

Рис. 10.3. Определение оценок медиан из прямого линейного графика.

Прямые проведены так же, как н на рис. 2.7. и каждая точка пересечения (она обозначается кружком) дает оценку параметра Kjj и оценку Vtj- параметра V. Для

ясности вти оценки отмечены на осях координат. Kjj определяется затем как медиана значений Ку а V — как медиана значений Vtj. Если число точек пересечений является четным, как в данном случае, то медианой считается среднее между значениями двух величин, занимающих среднее положение.

Ментен (К tj- Vij), которая точно удовлетворяет обоим измерениям:

V} — Vi