>Расчет констант скорости

263

Эти значения Кци V соответствуют координатам точки пересечения прямых, проведенных для двух измерений так, как зто описано в разд. 2.5; п измерений дают п(п—1)/2 таких пар значений Км и V (или меньше, если имеются повторные измерения). Медиану совокупности значений Ktj можно определить как

Км, а медиану совокупности значений V tj — как V. Эти медианы очень просто найти из прямого линейного графика, как это показано на рис. 10.3. Для того чтобы проверить правомочность подобной процедуры, Корниш-Боуден и Эйзенталь [37] провели моделирование с применением ЭВМ многих тысяч экспериментов, используя различные допущения о природе экспериментальной ошибки. Моделирование экспериментов с применением ЭВМ име- . ет ряд преимуществ перед постановкой реальных экспериментов: число таких модельных экспериментов может быть неизмеримо больше; истинные значения параметров-и истинное распределение экспериментальной ошибки известны. Эти авторы показали, что оценки, полученные методом наименьших квадратов, лучше медианных оценок, найденных из опытов, в которых выполнялись все допущения, принимаемые в методе наименьших квадратов. Подобный результат можно было, конечно, предвидеть, однако различие оказалось на удивление маленьким, а приблизительно в 40% общего числа опытов медианные оценки были ближе к истинным значениям. В то же время в экспериментах, где допущения, используемые в методе наименьших квадратов, пе выполнялись (например, когда данные содержали выбросы, когда схема определения весов измерений была неверна или когда ошибки содержались пе только в v, но и в s), небольшое преимущество метода наименьших квадратов исчезало. Корниш-Боуден и Эйзенталь пришли к заключению, что если исходить из разумных допущений об экспериментальной ошибке,, то никаких оснований отдавать предпочтение методу наименьших квадратов не остается.

Прямой линейный график позволяет также довольно легко определить совместные границы доверительного интервала для <Жм и V- Уже простое рассмотрение характера разброса точек пересечения дает ясное качественное представление о том, какова точность определения параметров. Более точный результат получается, если учесть тот факт, что каждая область на графике; ограниченная прямыми, соответствует различному порядку изменения знака отклонений (рис. 10.4), поскольку каждая прямая представляет собой границу между совокупностью пар значений (Км, У), для* которых соответствующее отклонение положительно, и совокупностью пар значений (Км, У), для которых отклонение отрицательно. Так как согласно основному допущению непараметрической статистики все изменения знаков для настоящих ошибок a priori равновероятны, найти совместные границы дове-

264

Глава 10

рительной области для Км и V не составляет труда, как это показано на рис.10.4.

Если подсчитывать общее число положительных знаков, то можно получить не ограниченные с концов доверительные области, которые, хотя и соответствуют строгому подходу, весьма неудобны, поскольку не позволяют исключить некоторые заведомо ошибоч-

0-----

1----+

3---+ +

4- + т-

5- - + - + 7--++ +

||-++~-13-+ + - + 15- + +++

16+----

24+ +---

28+ + + --30+ + + + -3f+ + + + +

16

0 8Ч 12.

4

30

31

-54 -S3 -52

Рис. 10.4. Изменения знаков отклонений.

На графике представлены те же данные, что и на рис 10.3, однако с новой разметкой, показывающей, что каждая область, ограниченная прямыми, характеризуется различным порядком изменения знака отклонений. Например, если первое отклонение отрицательно, а следующие четыре—положительны, то значения Км и V должны лежать в области с номером 15. Обозначения построены по следующему принципу: каждый знак «минус» рассматривают как нуль в двоичной системе, а каждый знак «плюс» — как единицу; тогда получают число в двоичной системе, которое преобразуют затем в соответствующее число в десятичной системе (например, 0 1111 в 15). Таблица подобных преобразований представлена на рисунке. Некоторые в принципе допустимые области, например область 2 (с порядком изменения знаков----1—). на графике отсутствуют, потому что

они соответствуют таким порядкам изменения знаков отклонений, которые в данном случае невозможны (хотя в принципе отрицать их существование нельзя).

ные оценки параметров. Это объясняется тем, что через совокупность экспериментальных точек можно провести такую кривую, которая заведомо является неверной, хотя половина точек располагается по одну сторону от нее, и половина — по другую.

Более приемлемые границы доверительной области получают, отыскивая такие оценки Км и У» для которых наилучшим обра-

Расчет констант скорости

265

зом выполняется условие чередования положительных и отрицательных ошибок. Иными словами, ищут такую последовательность, в которой знак меняется максимальное число раз. В приложении к прямому линейному графику такой подход означает, что большее значение придается небольшим замкнутым областям вблизи медианных оценок, а не бесконечно протяженным областям по краям графика. Если принять за доверительную область неправильный многоугольник, образованный комбинацией всех замкнутых областей, то окажется, что фактический уровень надежности оценки параметров зависит от числа наблюдений, как это показано в табл. 10.2. Если число измерений больше 12, можно найти меньшую по размерам 95 (или более высокую)-процентнук> доверительную область. Более подробно сущность этого метода-изложена в работе Корниш-Боудена и Эйзенталя [37]. Следует подчеркнуть, что для большинства задач достаточен, по-видимому, качественный анализ графика.

Таблица 10.2

ВЕРОЯТНОСТЬ (В %) ТОГО. ЧТО В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ п ЗНАКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ СЛУЧАЙНЫМ ОБРАЗОМ, ЗНАК МЕНЯЕТСЯ ПО МЕНЬШЕЙ МЕРЕ

m РАЗ

(Область с т>5 можно найти из прямого линейного графика, если принять во внимание все полностью замкнутые области, ограниченные прямыми. Область с m>i легко находится из разметки на графике, представленном на рис. 10.4)

п т>3 m>4

3 25,0 0,0

4 50,0 12,5

5 68,8 31,3

6 81,3 50,0

7 89,1 65,6

8 93,8 77,3

9 96,5 85,5

10 98,0 91,0

11 98,9 94,5

12 99,41 96,7

13 99,68 98,1

14 99,83 98,9

15 99,91 99,35

Основные достоинства метода определения Кц и V с помощью прямого линейного графика состоят в его простоте, нечувствительности к отдельным плохо выполненным измерениям, а также в том, что он не требует точного знания относительной ошибки каждого измерения. К сожалению, использовать этот метод для описания экспериментальных данных более сложными уравне-

266

- Глава 10

ниями, зависящими от трех или большего числа параметров, не удается, так как сложность расчетов при увеличении числа параметров и числа наблюдений очень быстро возрастает. Эти трудности можно обойти, используя подход, основанный на применении s. вторичных графиков и рассмотренный в первых главах книги при изложении обычных приемов построения графиков. Например, при анализе данных по двухсубстратной реакции можно использовать прямой линейный график как первичный для определения Кмкат1 Унаук И ^каж^М.каж ПРИ раЗЛИЧНЫХ фиксированных концентрациях второго субстрата. Используя то благоприятное обстоятельство, что выражения для Vкак и Укажем, каж часто совпадают по форме с уравнением Михаэлиса—Ментен [например, в соответствии с уравнением (5.6) V KayR = == УЬ/(Км + Ь)], можно затем построить вторичные графики (в рассматриваемом случае — график зависимости V от Км с отсекаемыми на осях V и Км отрезками, равными VKam и —Ъ соответственно) и рассчитать с их помощью значения четырех параметров.

10.10. Заключительные замечания

Настоящая глава представляет собой нечто среднее между очень поверхностным рассмотрением вопросов математической статистики, какое обычно можно найти в книгах по биохимии (иногда оно и вовсе отсутствует), и полноценной книгой по статистике, которую стоило бы написать. Пришлось отказаться от изложения многих вводных сведений из области статистики, полезных для понимания практических сторон использования метода регрессионного анализа. Об этом приходится особенно сожалеть, поскольку хороших книг по математической статистике, написанных на должном уровне, явно не хватает: преобладают книги, либо написанные хотя и строго, но в значительной степени малопонятно, либо дающие описание метода аппроксимации экспериментальных данных прямой лишь в последней короткой главе в конце изложения правил по применению ^-тестов, F-тестов и тому подобных критериев классической статистики. К счастью, имеется одна книга — «Лекции по биостатистике» [321,— которая объединяет в себе такие качества, как удобство для чтения, трезвость суждений (автор прямо пишет о том, как мадо мы обычно знаем о выполнимости используемых нами допущений) и должное внимание к реальным задачам, т.е. качества, которых, к сожалению, обычно недостает большинству других учебников по математической статистике.

Список литературы

(В конце каждой ссылки указаны разделы книги, в которых цитируется соответствующая работа)

1. Adair G. S. (1925), J. biol. Chem., 63, 529—545 [7.4J.

2. Adair G. S. (1925), Proc. Roy. Soc, Ser. A, 109, 292—300 [7.4J.

3. Alberty R. A. (1953), J. Amer. chem. Soc, 75, 1928—1932 15.4].

4. Alberty R. A. (1958), J. Amer. chem. Soc, 80, 1777—1782 [5.4].

5. Alberty R. A., Koerber В. M. (1957), J. Amer. chem. Soc, 79,-6379—6382 [8.6].

6. Alberty R. A., Massey V., FriedenC, Fuhlbrigge A .R. (1954), J. Amer. chem. Soc, 76, 2485—2493 [5.8].

7. Arrhenius S. (1889), Z. physik, Chem., 4, 226—248 [1.6].

8. Borden R. E., Fung C.-H., Utter M. F., Scrutton M. C. (1972), J. biol. Chem., 247, 1323—1333 [5.2].

9. Bender M. L., Begue-Canion M. L., Blakeley R. L., Brubacher L. J., Feder /., GunterC. R., Kezdy F. J., Killheffer J. V., Jr., Marshall Т. H., Miller C. G., Roeske R. W., Stoops /. K. (1966), J. Amer. chem. Soc, 88, 5890— 5913 [9.3].1

10. Bender M. L., Kezdy F. J., Gunter C. R. (1964), J. Amer. chem. Soc, 86, 3714—3721 [6.8].

11. Blangy ?>., Вис H., M